\documentclass[
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    ]{article}

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\usepackage{epstopdf}

\author{
     Luciano Mangiarotti,
\and Eduardo Enrique Casal,
\and Marcos Dami\'an Pianelli
\and y Rodrigo Rearden
}

\title{Resoluci\'on del trabajo pr\'actico final}

\begin{document}



\maketitle

\begin{itemize}

\item a)
	\subsection{Modelado de los tiempos de arribo}
	A partir de los datos hist\'oricos en el archivo \texttt{arriboscop}, buscamos modelar los tiempos de arribo con una variable aleatoria cuya
	 distribuci\'on desconocemos. Para esto organizamos dichos datos en un histograma, observado en la figura \ref{h1}, cuyos  intervalos de clase
	 son elegidos segun el criterio de Nu\'nez (El que dice que se debe ver \textbf{lindo}).

	\begin{figure}
		\centering
			\includegraphics[width = \linewidth,keepaspectratio=false]{h1}
		\caption{El eje X son tiempos entre arribos, mientras que el eje Y representa la cantidad de ocurrencias para cada clase.}
		\label{h1}
	\end{figure}

	Podemos observar que la distribuci\'on tiene la apariencia de una exponencial, por lo tanto planteamos dicha distribuci\'on como nuestro modelo
	de tiempos de arribos, se estima el parametro $\lambda$ a partir de los datos

	\begin{equation}
		\label{eq1}
		\lambda = \frac{\sum_i=1^N f_i X_i}{n} = 7.8079
	\end{equation}
	
	Siendo $f_i$ la cantidad de arribos en el intervalo de clase $i$ y $X_i$ la marca de clase, $N=10$ la cantidad de clases del histograma armado, y
	$n=1000$ la cantidad de datos de los que disponemos.

	Se realiza el test $\chi^2$ con nivel de significacion $\alpha  = 0.5\%$, cantidad de intervalos de clase $N=9$, y frecuencias te\'oricas
	 $E_k, k=1,...,9$. Los resultados los podemos observar en la Tabla 1.\\

	\begin{table}[p]
	\begin{center}
	\begin{tabular}{cccccc}
	\hline \hline
	$k$ & $O_k$ & $E_k$ & $(O_k - E_k)$ & $(O_k - E_k)^2$ & $\frac{(O_k - E_k)^2}{E_k}$\\ \hline \hline
	1 & 629 & 624.214 & 4.786 & 22.9058 & 0.0366954\\
	2 & 234 & 234.911 & -0.911 & 0.829921 & 0.00353292\\
	3 & 76 & 88.404 & -12.404 & 153.859 & 1.74041\\
	4 & 26 & 33.2691 & -7.2691 & 52.8398 & 1.58826\\
	5 & 26 & 12.5202 & 13.4798 & 181.705 & 14.5129\\
	6 & 6 & 4.71171 & 1.28829 & 1.65969 & 0.352248\\
	7 & 2 & 1.77316 & 0.22684 & 0.0514564 & 0.0290196\\
	8 & 0 & 0.667294 & -0.667294 & 0.445281 & 0.667294\\
	9 & 1	& 0.251123 & 0.748877 & 0.560817 & 2.23324\\
	
	
	 \hline \hline
	\end{tabular}
	%\begin{footnotesize}
	\center{\textbf{Tabla 1} Datos obtenidos luego de realizar el test $\chi^2$ para la distribucion de tiempos de arribo.}
	%\end{footnotesize}
	\end{center}
	\end{table}

	Concluimos que la distribuci\'on con los parametros elegidos pasan el test $\chi^2$, ya que $\chi_{0}^{2} = 21.164$ es menor a 
	$\chi_{8,0.005} = 21.955$ por lo cual se acepta la hip\'otesis de que los datos provienen de una exponencial al 0.5\% .

	\subsection{Modelado de los tiempos de servicio}
	A partir de los datos en el archivo \texttt{arriboscop}, buscamos modelar los tiempos de servicio con una variable aleatoria cuya
	 distribuci\'on desconocemos. Para esto graficamos los datos, estos ya estan organizados en intervalos de clase, se observa el grafico obtenido en
	 la figura \ref{h2}.

	\begin{figure}
		\centering
			\includegraphics[width = \linewidth,keepaspectratio=false]{h2}
		\caption{El eje X representa el tiempo de atenci\'on medido en horas, y el eje Y es la cantidad de ocurrencias para cada clase.}
		\label{h2}
	\end{figure}

	Podemos observar que la distribuci\'on tiene la apariencia de una triangular, por lo tanto planteamos dicha distribuci\'on como nuestro modelo de
	 los tiempos de servicio, con par\'ametros $a = 0$, $b = 1.125$, $c = 1.75$.

	Se realiza el test $\chi^2$ con nivel de significacion $\alpha  = 0.1$, cantidad de intervalos de clase $N=7$, y frecuencias te\'oricas
	 $E_k, k=1,...,7$. Los resultados los podemos observar en la Tabla 2.\\

	\begin{table}[p]
	\begin{center}
	\begin{tabular}{cccccc}
	\hline \hline
	$k$ & $O_k$ & $E_k$ & $(O_k - E_k)$ & $(O_k - E_k)^2$ & $\frac{(O_k - E_k)^2}{E_k}$\\ \hline \hline
	1 & 2 & 1.1111 & 0.8889 & 0.790143 & 0.711136\\
	2 & 4 & 3.3333 & 0.6667 & 0.444489 & 0.133348\\
	3 & 6 & 5.5555 & 0.4445 & 0.19758 & 0.0355648\\
	4 & 8 & 7.7777 & 0.2223 & 0.0494173 & 0.00635372\\
	5 & 10 & 9.9999 & 0.0001 & 0.0 & 0.0\\
	6 & 6 & 6& 0 & 0 & 0\\
	7 & 2 & 2& 0 & 0 & 0\\ \hline \hline
	\end{tabular}
	%\begin{footnotesize}
	\center{\textbf{Tabla 2} Datos obtenidos luego de realizar el test $\chi^2$ para la distribucion de tiempos de servicio.}
	%\end{footnotesize}
	\end{center}
	\end{table}

	Concluimos que la distribucion con los parametros elegidos pasan el test $\chi^2$, ya que $\chi_{0}^{2} = 0.884603$ es menor a 
	$\chi_{6,005} = 18,55$.

\item b)
	Las variables de estado del sistema son las longitudes de cola de la UI, de la ST y de la de las ER, y el estado de los
	 servidores UI, ST y ERs. El espacio de estados de los servidores es libre u ocupado.
\item c)
	Los eventos del sistema son:
	\begin{itemize}
		\item Ingresa un nuevo colectivo a la cola UI
		\item Un colectivo sale de la UI y del sistema
		\item Un colectivo sale de la UI y entra a las ER
		\item Un colectivo sale de la CR y entra a la ST
		\item Un colectivo sale de la ST y del sistema
		\item Un colectivo sale de la ST y entra a la UI
	\end{itemize}
\item d)
	El gr\'afico \ref{g1} es obtenido de realizar una simulaci\'on de 50 horas, inicialmente todos los servidores estan libres y todas las colas estan
	 vac\'ias, es decir las viariables de estado de longitud de las colas son 0 y el estado de los servidores UI, ST y ER es 'libre'. El tipo de
	 generador de n\'umeros pseudoaleatorios usado es el de L'Ecuyer, ya usado en un trabajo anterior, en el cual demostramos que es un buen generador,
	 las semillas utilizadas son $934217038$ y $952968656$.

	\begin{figure}
		\centering
			\includegraphics[width = \linewidth,keepaspectratio=false]{plotD}
		\caption{El eje X representa el tiempo medido en minutos, y el eje Y la cantidad de unidades en cada una de las colas en un momento determinado.}
		\label{g1}
	\end{figure}

\item e)
	A partir de 10 simulaciones independientes de 50 horas, obtenemos el tiempo medio por cliente en cada una. Los resultados pueden observarse en la Tabla 3.

	\begin{table}[p]
	\begin{center}
	\begin{tabular}{cccccc}
	\hline \hline
	$N$ & Tiempo medio por cliente en el sistema\\ \hline \hline

                  

	1   & 994.64 min \\
	2   & 1036.18 min\\
	3   & 1008.48 min\\
	4   & 1018.79 min\\
	5   & 1101.62 min\\
	6   & 995.68 min\\
	7   & 1062.24 min\\
	8   & 1078.27 min\\
	9   & 1118.71 min\\
	10  & 1035.07 min\\ \hline \hline
	\end{tabular}
	%\begin{footnotesize}
	\center{\textbf{Tabla 3} Resultado obtenido luego de 10 simulaciones independientes de 50 horas.}
	%\end{footnotesize}
	\end{center}
	\end{table}

	A partir de los resultados de la Tabla 3, obtenemos que el estimador del tiempo medio por cliente es:  $1044.97$ minutos

	El error que observamos en el c\'omputo anterior es el siguiente: $43.7274$ minutos

\item f)
	Realizamos simulaciones de 160 horas variando la probabilidad $p$ de que una unidad pase satisfactoriamente el testeo entre 0 y 1, con un paso de $0.1$.\\
	En la Figura \ref{g2} se muestra el tiempo promedio de una unidad en cada cola en funci\'on de $p$.\\
	En la Figura \ref{g3} se muestra la longitud media de cada cola en funci\'on de $p$.\\
	En la Figura \ref{g4} se muestra la ocupaci\'on media de cada ER en funci\'on de $p$.\\

	Si bien en la Figura \ref{g2} el tiempo medio parece variar de manera err\'atica, se ve que este decrece en la ST a medida
	que aumenta la probabilidad. La variaci\'on en el tiempo medio de la cola de la UI es producto de la aleatoriedad de las
	 simulaciones, ya que esta no se deber\'ia ver afectada por el cambio en la probabilidad de que una unidad pase el control
	 de la ST: Deber\'ia verse como una funci\'on constante. En cambio, la raz\'on por la que decrecen los tiempos medios en la
	 cola de la ST y de las ERs se debe a que menos colectivos son realimentados en el sistema, haciendo que haya menos carga 
	en el sistema.

	\begin{figure}
		\centering
			\includegraphics[width = \linewidth,keepaspectratio=false]{tMedioColas}
		\caption{En el eje X esta representada la probabilidad, mientras que en el eje Y esta el tiempo medio por unidad en cada cola, medido en minutos.}
		\label{g2}
	\end{figure}

	\begin{figure}
		\centering
			\includegraphics[width = \linewidth,keepaspectratio=false]{longMediaColas}
		\caption{El eje X representa la probabilidad de que una unidad pase el testeo de la ST, mientras que el eje Y representa la longitud de cada una de las colas, en unidades.}
		\label{g3}
	\end{figure}

	\begin{figure}
		\centering
			\includegraphics[width = \linewidth,keepaspectratio=false]{ocMediaERs}
		\caption{El eje X representa la probabilidad de que una unidad pase el testeo de la ST, y en el eje Y se encuentra la utilizaci\'on de cada ER.}
		\label{g4}
	\end{figure}
	
\end{itemize}

\end{document}

